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abril 20, 2009

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Um dos exercícios que resolvi para a última lista de Eletromagnetismo A (cuja data de entrega era hoje) me interessou bastante, muito embora eu não tenha conseguido resolvê-lo por completo. O exercício é o 3.16 da terceira edição do Jackson (Classical Eletrodynamics) ou 3.14 da segunda edição. Vou postar a seguir a solução da letra a (parcial para não passar a solução do exercício para futuros estudantes).

O exercício pede que seja comprovada a relação

 \dfrac{\delta(r-r_0)}{r} = \int\limits_0^{\infty} dk \, k \, \mathcal{J}_m(kr) \, \mathcal{J}_m(kr_0),

em que \mathcal{J}_m  é a função de Bessel de ordem m. Esta equação assemelha-se muito a uma relação de ortogonalização, mas na verdade trata-se de uma relação de completeza. Não que isso seja de grande importância para o que se segue, mas isso sugere não tentarmos calcular algo como o produto \left(\mathcal{J}_m,\mathcal{J}_n\right).

Comecemos com a definição da função Delta de Dirac,

\delta(x-x_0)\delta(y-y_0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_x \dfrac{e^{ik_x(x-x_0)}}{2\pi} \, \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_y \dfrac{e^{ik_y(y-y_0)}}{2\pi}  

\delta(x-x_0)\delta(y-y_0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_y dk_x
\dfrac{e^{ik_x(x-x_0)} e^{ik_y(y-y_0)}}{\left(2\pi\right)^2}

\delta(x-x_0)\delta(y-y_0) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_y dk_x e^{i\left(k_x x + k_y y \right)} e^{-i\left(k_x x_0 + k_y y_0 \right)}  

\dfrac{\delta(r-r_0)}{r}\delta(\alpha-\alpha_0) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^2}
\int\limits_0^{\infty} \, \int\limits_0^{2\pi} d\alpha \, dk
\, k \, e^{i k r \cos\left(\theta - \alpha \right)} e^{-i k r_0 \cos\left(\theta - \alpha_0 \right)} ,
 

em que k = k_x^2 + k_y^2 e \alpha (\alpha_0) é o ângulo entre \vec{k} = (k_x,k_y) e \vec{r} = (x,y) (ou \vec{r}_0 = (x_0,y_0), equivalentemente). Vamos expandir as exponenciais complexas em termos de funções de Bessel,

e^{ikr \cos\left(\theta - \alpha\right)} = \sum\limits_{m=0}^{\infty} i^m e^{im(\theta - \alpha)} \, \mathcal{J}_m (kr). 

Simplesmente substituindo na expressão para as deltas, obtemos

 \dfrac{\delta(r-r_0)}{r}\delta(\alpha-\alpha_0) =  \frac{1}{\left(2\pi\right)^2}
\int\limits_0^{\infty} \, \int\limits_0^{2\pi} d\alpha \, dk \,
k \, \sum\limits_{m=0}^{\infty} \sum\limits_{m'=0}^{\infty} \, \, \times \, \, \Big[

 i^{m} e^{im(\theta - \alpha)} (-i)^{m'} e^{-im'(\theta - \alpha)} \, \mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m'} (kr_0) \, \, \Big].

Separando a parte em \theta, obtemos

\int\limits_0^{2\pi} d\alpha \, e^{i\alpha (m-m')} = 2\pi \delta_{m,m'}, 

o que significa que apenas os termos com m=m' contribuem para a soma. Assim, i^{m}(-i)^{m} = 1 e a soma facilita-se de forma considerável:

\dfrac{\delta(r-r_0)}{r}\delta(\alpha-\alpha_0) =  \dfrac{1}{2\pi}
\sum\limits_{m=0}^{\infty} \, e^{im(\alpha - \alpha_0)} \, \int\limits_0^{\infty} \, dk \,
k  \,
\mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m} (kr_0) . 

Para por aqui, já temos uma relação interessante: um tipo de relação de completeza para duas dimensões. Mas precisamos eliminar ainda os ângulos \alpha e \alpha_0. Propomos então a seguinte operação:

  \int\limits_0^{2\pi} d\alpha \dfrac{\delta(r-r_0)}{r}\delta(\alpha-\alpha_0) \, e^{-iq\alpha} = \dfrac{\delta(r-r_0)}{r} e^{-iq\alpha_0}.

Integrando o outro lado da equação, obtemos

 \frac{1}{2\pi}
\int\limits_0^{\infty} \, dk
k \sum\limits_{m=0}^{\infty} \, \int\limits_0^{2\pi} d\alpha e^{im(\alpha - \alpha_0)} \,
\mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m} (kr_0) \, e^{-iq\alpha}

 = \frac{1}{2\pi}
\int\limits_0^{\infty} \, dk
k \sum\limits_{m=0}^{\infty} \,
\mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m} (kr_0) \, e^{-im\alpha_0} \, \int\limits_0^{2\pi} d\alpha \, e^{-i(m-q)\alpha}  

 = \frac{1}{2\pi}
\int\limits_0^{\infty} \, dk \,
k \,
\mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m} (kr_0) \, e^{-iq\alpha_0} \, 2\pi   

 =\int\limits_0^{\infty} \, dk \,
k \,
\mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m} (kr_0) \, e^{-iq\alpha_0}.    

Reunindo os dois lados novamente, obtemos

\dfrac{\delta(r-r_0)}{r} e^{-iq\alpha_0} = =\int\limits_0^{\infty} \, dk \,
k \,
\mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m} (kr_0) \, e^{-iq\alpha_0}

 e, portanto, chegamos à

\dfrac{\delta(r-r_0)}{r} = \int\limits_0^{\infty} \, dk \,
k \,
\mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m} (kr_0) .

Esta é exatamente a expressão que gostaríamos de obter. Note que se refizermos tudo, mas trocarmos r_0 por um k_0, obteríamos algo análago para o coeficiente k.

Este exercício ainda pede para que a relação

\dfrac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}_0\right|} = \sum\limits_{m=0}^{\infty} \int\limits_0^{\infty} \, dk \,
k \, e^{im\left(\phi - \phi_0\right)}
\, \mathcal{J}_m (kr) \, \mathcal{J}_{m} (kr_0) \, e^{-k\left(z_{>} - z_{<} \right)} ,

mas eu não consegui terminá-la. Eu consigo chegar a relações muito parecidas com esta, mas não consigo obtê-la realmente. Alguém aí sugere pode me dar alguma dica? A lista já foi e não encontrei alguém que pudesse me mostrar como fazê-lo, então não se preocupem: não vale mais nota alguma, hehe.

Palavras-chave: classical, eletrodinâmica, eletrodynamics, exercício, jackson, lista, meu laboratório

Postado por Thiago S. Mosqueiro

Comentários

  1. Henrique Fleming escreveu:

    A expressão para a transformada de Fourier do [; \delta(x-x_{0}) ;] está errada. A integral é de

    [; -\infty \;\;a \;\; \infty ;],

    Essas demonstrações envolvendo o [; \delta ;]  têm de ser feitas no contexto da teoria das distribuições. Essas manipulações formais que voce realiza não constituem demonstrações matemáticas, mas gambiarras para usode físicos. Essas relaçãoes são, efetivamente, provadas, em Gelfand, Shilov, "Generalized Functions".

    default user iconHenrique Fleming ‒ segunda, 20 abril 2009, 16:10 -03 # Link |

  2. Thiago escreveu:

    Estou ciente disso, professor, e não publiquei o que está no conhecido livro do Gelfand (não é com o Vilenkin, aliás?) porque isso seria dar a solução do problema. Em geral, essas deduções são sim gambiarras, assim como são aceitas. A questão é saber a forma correta para poder conversar com os grandes, que conhecem teoria de distribuições (por ventura, talvez um pouco de álgebra e medidas).

    Obrigado por me avisar sobre o erro de digitação também: as integrais são de fato neste domínio e a seguinte manipulação a transforma em 0 a infinito. E muitíssimo obrigado pelo comentário : )

    Thiago S. MosqueiroThiago ‒ segunda, 20 abril 2009, 16:36 -03 # Link |

  3. Henrique Fleming escreveu:

    Os volumes 1 e 2 do "Generalized Functions" que são aqueles em que se encontra a exposição da teoria das distribuições, são de Gelfand e Shilov. O volume 4, que trata de Análise Harmônica, é de Gelfand, Vilenkin.

    default user iconHenrique Fleming ‒ segunda, 20 abril 2009, 17:05 -03 # Link |

  4. Thiago escreveu:

    Estive pensando... Talvez pudesse redigir algo comparando as duas soluções e mostrando os detalhes que podem passar despercebidos. O que o senhor acha, professor? Vou tomar emprestado o Gelfand da biblioteca e tentarei redigir um texto assim.

    Thiago S. MosqueiroThiago ‒ segunda, 20 abril 2009, 22:48 -03 # Link |

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