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abril 13, 2008

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Postado por Adriano Morinaga

Olá! Tudo bem?



Estes dias uma pessoa me fez perguntas sobre o número zero. Eis as questões:

- O zero é par? E ele é neutro?

Vou respondê-las de uma maneira bem simples.

1. O zero é par?

Intuitivamente, dizemos que um número n natural é par se conseguimos obter dois conjuntos A e B distintos com \frac{n}{2} elementos em cada conjunto tais que A \cap B=\emptyset e que cada elemento de um dos conjuntos esteja em correspondência biunívoca com algum elemento do outro conjunto.

Veja o exemplo abaixo para n=4:



Logo, 4 é par, de acordo com a idéia acima.

Como exercício, pegue um baralho de 52 cartas e faça o maior número de "casais" de cartas possível (serão 26 "casais"). Logo, forma-se 26 pares de cartas.

Note, porém, que isto não funcionará para n=0.

Formalmente, definimos número par desta forma (algébrica):

Definição. Um número n é par se n é da forma 2p, para algum p \in Z.

Da definição acima concluímos que um número n é par se n é divisível por 2, ou seja, se o RESTO da divisão de n por 2 for igual a 0.

Por exemplo, 6 é par, pois n = 6 = 2p\Rightarrow p = 3 e 2 | 6.

Logo, pela definição dada, concluímos que 0 é par pois p = 0\in Z e, portanto, n = 2p = 0.
Como 2 | 0, segue a afirmação feita anteriormente.

Note que, por exemplo, -4 é par, pois n = -4 = 2p \Rightarrow p = -2 e 2 | -4. Ou seja, isto nos permite decidir quais números INTEIROS são pares.


2. O zero é neutro?

Depende. Temos que considerar o tipo de operação envolvendo o zero. 

Na adição de números inteiros, o zero é neutro.

Em 4 + 0 = 4\in Z, o zero é o elemento neutro.

Porém, na multiplicação de números inteiros, o zero não o é.

Por exemplo, em 4.0 = 0\in Z, o zero não é elemento neutro (neste caso é o número 1).


Para "quebrar o gelo", veja o tamanho da discussão que isto pode gerar:

- Yahoo! Respostas: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20060811172457AAWBIcT
- Yahoo! Respostas: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20060716145222AAYKXKG


Alguns "links" interessantes (não garanto a corretude das informações; apenas para "matar" a curiosidade):

- Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/0_%28number%29
- http://zeroepar.blogspot.com/2007/05/bem-vindos.html


Fique com Deus. Um abraço,

Adriano Morinaga

Palavras-chave: Matemática

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