Para organismos unicelulares natação é bem diferente do que para organismos do nosso tamanho. Se você for muito pequeno, efetivamente a viscosidade e as forças de arrasto são tão grandes, que você vive num mundo “sem inertia” e as forças de gravidade são de pouca importância.

Dois tipos de arrasto e o número de Reynolds

Vou tentar mostrar que das forças agindo sobre objetos muito pequenos é a força devido à viscosidade do meio que é o de longe o mais importante. É claro que vamos considerar um esfera...

1. A força peso vai com a densidade da esfera e o volume, ~r³, com r uma dimensão típica. Mais precisamente, para uma esfera
2. O empuxo vai com a densidade do meio e o volume:
3. O arrasto devido à viscosidade vai proportional a uma dimensão típica e a velocidade. Para uma esfera, Stokes calculou
4. Mas isto não é o único tipo de arrasto: temos também a força necessário para deslocar a massa de fluido do seu lugar. Uma esfera por exemplo, ao se mover pelo fluido, tem que deslocar um volume por segundo. Mas isto requer uma transferência de momento e temos . Isto é a força (a transferência de momento por segundo) que a esfera exerce sobre o líquido e pela terceira lei de Newton isto numéricamente igual à força do fluido sobre a esfera.
   

Considerando o tamanho típico r do objeto, fica claro que quanto menor, quanto mais importante o arrasto devido à viscosidade porque as outras forças vão com e enquanto vai com . De qualquer maneira, a densidade de organismos que vivem em água, muito próximo à densidade da água, de modo que o empuxo e o peso se cancelam.

Mais interessante é a comparação entre os dois tipos de arrasto. No final do século 19, Osborne Reynold reconheceu que a razão entre as forças 4 e 3 acima, (desconsiderando fatores geométricas) dava uma boa indicação sobre o movimento ser laminar ou turbulento. Esta razão é o chamado número de Reynolds (Re). Se a velocidade e tamanho do objeto são baixos suficientes que a força de arrasto é muito maior do que a força "inertial" (número 4 acima), então o fluxo do fluido em volta do obeto será laminar.

Colocando números típicos para organismos unicelulares (r = 1μm, v = 30μm/s), e substituindo a viscosidade e densidade da água temos que a força de arrasto é mais do que 10 vezes maior do que o próprio peso. Além disso, a força viscosa é muito maior que as forças "inerciais": para r = 1μm, v = 30μm/s, η/ρ=10^-6m²/s, Re = 3 10^-5. Efetivamente, nadam em um meio de alta viscosidade.

Consequências de uma viscosidade alta

Nadar em um meio de alta viscosidade (ou para organismos muito pequenos) é diferente do que estamos acostumados. Uma das consequências é que sem propulsão, você pára imediatemente. Vamos ver porque. Se de repente não há nenhuma outra força de propulsão, o movimento da esfera é descrito pela segunda lei de Newton assim:

ou

A constante , com ρ a densidade da esfera. A equação diferencial talvez inspira medo, mas não é nenhum bicho de sete cabeças. Qualquer equação diferencial pode ser resolvida por força bruta: ela simplesmente te diz a mudança da velocidade, sabendo a velocidade agora. Assim, se em t=0 a velocidade é v(0), um tempinho depois (digamos 1 segundo), a velocidade vai ser v(1) = v(0)+ dv = v(0) -bv(0), e mais um tempinho depois, v(2) = v(1) + dv = v(1) -bv(1) e assim por adiante. Mas se não quiser implementar este método de força bruta (em Excel por exemplo), pode também verificar (por substituição na equação) que v(t)=v(0)exp(-bt) é uma solução, que portanto descreve o movimento da esfera.

Vemos que se a forca de arrasto é a única força que age sobre a esfera, uma eventual velocidade inicial v(0) decai para zero com constante de tempo, ou seja, quanto menor a célula, quanto mais rápido a célula pára. (Note que b tem unidades de tempo^-1, mas não é uma frequência!) Colocando os nossos números típicos, vemos que este tempo é 2 10^-7 segundos. Durante este tempo, a célula ainda se desloca v(0)/b = 10^-9m: somente um milésimo do próprio tamanho!

Links e Referências

• Life at Low Reynolds Number, EM Purcell, American Journal of Physics vol 45, 3 (1977).
• Self-Propulsion at Low Reynolds Number, A. Shapere, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 58, 2051 (1987). Natação em fluidos bem viscosos, por físicos de alta energia. Não entendí porra nenhuma…
• Nadadores nanométricos tem despertado interesse recente: Optimal Swimming at Low Reynolds Numbers, J. E. Avron, O. Gat, e O. Kenneth, Phys. Rev. Lett. 93, 186001 (2004). Frase: “Although microbots do not yet exist, they are part of the grand vision of nanoscience”
• http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/FluidsIndex.h Michael Fowler explica bem as coisas. Estes são as suas notas de aula de um curso de física básica sobre fluidos.