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agosto 13, 2007

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Para organismos unicelulares natação é bem diferente do que para organismos do nosso tamanho. Se você for muito pequeno, efetivamente a viscosidade e as forças de arrasto são tão grandes, que você vive num mundo “sem inertia” e as forças de gravidade são de pouca importância.

Dois tipos de arrasto e o número de Reynolds

Vou tentar mostrar que das forças agindo sobre objetos muito pequenos é a força devido à viscosidade do meio que é o de longe o mais importante. É claro que vamos considerar um esfera...

  1. A força peso vai com a densidade da esfera e o volume, ~r³, com r uma dimensão típica. Mais precisamente, para uma esfera F_g = 4/3\pi r^3 \rho_e g
  2. O empuxo vai com a densidade do meio e o volume: F_e = 4/3\pi r^3 \rho_f g
  3. O arrasto devido à viscosidade vai proportional a uma dimensão típica e a velocidade. Para uma esfera, Stokes calculou F_v = 6\pi r \eta v
  4. Mas isto não é o único tipo de arrasto: temos também a força necessário para deslocar a massa de fluido do seu lugar. Uma esfera por exemplo, ao se mover pelo fluido, tem que deslocar um volume \pi r^2 v por segundo. Mas isto requer uma transferência de momento p=mv = \rho_f V v e temos dp/dt = \rho_f \pi r^2 v^2 . Isto é a força (a transferência de momento por segundo) que a esfera exerce sobre o líquido e pela terceira lei de Newton isto numéricamente igual à força do fluido sobre a esfera.

Considerando o tamanho típico r do objeto, fica claro que quanto menor, quanto mais importante o arrasto devido à viscosidade porque as outras forças vão comr^3 e r^2 enquantoF_v vai com r. De qualquer maneira, a densidade de organismos que vivem em água, muito próximo à densidade da água, de modo que o empuxo e o peso se cancelam.

Mais interessante é a comparação entre os dois tipos de arrasto. No final do século 19, Osborne Reynold reconheceu que a razão entre as forças 4 e 3 acima, \rho_f r^2 v^2 / r \eta v = \rho_f r v / \eta (desconsiderando fatores geométricas) dava uma boa indicação sobre o movimento ser laminar ou turbulento. Esta razão é o chamado número de Reynolds (Re). Se a velocidade e tamanho do objeto são baixos suficientes que a força de arrasto é muito maior do que a força "inertial" (número 4 acima), então o fluxo do fluido em volta do obeto será laminar.

Colocando números típicos para organismos unicelulares (r = 1μm, v = 30μm/s), e substituindo a viscosidade e densidade da água temos que a força de arrasto é mais do que 10 vezes maior do que o próprio peso. Além disso, a força viscosa é muito maior que as forças "inerciais": para r = 1μm, v = 30μm/s, η/ρ=10-6m2/s, Re = 3 10-5. Efetivamente, nadam em um meio de alta viscosidade.

Consequências de uma viscosidade alta

Nadar em um meio de alta viscosidade (ou para organismos muito pequenos) é diferente do que estamos acostumados. Uma das consequências é que sem propulsão, você pára imediatemente. Vamos ver porque. Se de repente não há nenhuma outra força de propulsão, o movimento da esfera é descrito pela segunda lei de Newton assim:

mdv/dt = -6\pi \eta rv ou dv/dt = -bv

A constante b = 6\pi \eta r/m = 9\eta /2\rho r^2, com ρ a densidade da esfera. A equação diferencial talvez inspira medo, mas não é nenhum bicho de sete cabeças. Qualquer equação diferencial pode ser resolvida por força bruta: ela simplesmente te diz a mudança da velocidade, sabendo a velocidade agora. Assim, se em t=0 a velocidade é v(0), um tempinho depois (digamos 1 segundo), a velocidade vai ser v(1) = v(0)+ dv = v(0) -bv(0), e mais um tempinho depois, v(2) = v(1) + dv = v(1) -bv(1) e assim por adiante. Mas se não quiser implementar este método de força bruta (em Excel por exemplo), pode também verificar (por substituição na equação) que v(t)=v(0)exp(-bt) é uma solução, que portanto descreve o movimento da esfera.

Vemos que se a forca de arrasto é a única força que age sobre a esfera, uma eventual velocidade inicial v(0) decai para zero com constante de tempo1/b = 2\rho r2/9\eta, ou seja, quanto menor a célula, quanto mais rápido a célula pára. (Note que b tem unidades de tempo-1, mas não é uma frequência!) Colocando os nossos números típicos, vemos que este tempo é 2 10-7 segundos. Durante este tempo, a célula ainda se desloca v(0)/b = 10-9m: somente um milésimo do próprio tamanho!

Links e Referências

 

 

 

Postado por Ewout ter Haar em FEP114 - Física Experimental II

Comentários

  1. Renato Callado Borges escreveu:

    Olá professor!  

    Não sei se minhas dúvidas são pertinentes, mas aí vão:

    -  como é determinado o volume que a esfera desloca ao se mover?

    - no mesmo item (4), a derivada do momento (onde momento = (rô-f) * V * v) é igual a (rô-f) * pi * r^2 * v^2. Mas por que a derivada de (constante * velocidade) é igual a (constante * velocidade^2) e não (constante * aceleração)?

    - o texto diz que o movimento laminar não é turbulento, e isso já é sugestivo de que trata-se de um movimento mais "calmo". Existe alguma outra característica intuitiva de movimentos laminares? Movimentos turbulentos são aqueles nos quais ocorrem perturbações visíveis do líquido (redemoinhos)?

    - na seção "conseqüências" está descrito o que ocorre se um ser unicelular não gastar energia (biológica) para se mover, correto? Quero dizer: se uma bactéria está movendo seus cílios ou seu(s) flagelo(s), por exemplo, ela irá se mover mais rápido do que o calculado nessa seção? 

    Renato Callado BorgesRenato Callado Borges ‒ terça, 14 agosto 2007, 10:19 -03 # Link |

  2. Ewout ter Haar escreveu:

    Boas perguntas! 

    como é determinado o volume que a esfera desloca ao se mover?

    O volume descolado durante um tempinho dt é a área de uma secção * vdt (vdt é o deslocamento duranto o tempinho dt). Por segundo se desloca portanto a área*v.

     no mesmo item (4), a derivada do momento (onde momento = (rô-f) * V * v) é igual a (rô-f) * pi * r^2 * v^2...

    Não! o momento transferido é p=mv = rho_f*Volume*v. Por segundo é transferido dp/dt = rho_f dVolume/dt * v (a velocidade é constante!) = rho_f*área*v*v = rho_f*pi*r^2^v^2

     Existe alguma outra característica intuitiva de movimentos laminares? Movimentos turbulentos são aqueles nos quais ocorrem perturbações visíveis do líquido (redemoinhos)?

    Sim, exatamente. No escoamento laminar não tem redemoinhos, as velocidades do fluido mudam devagarzinho em função da posição, etc.

     ela irá se mover mais rápido do que o calculado nessa seção?

    Na úlitma seção não calculo velocidade. Peguei a velocidade típica de 30 micron/segundo da literatura e calculo que se parar de repente de nadar, quanto tempo e quanta distância ainda se desloca.

     

     

     

     

    Ewout ter HaarEwout ter Haar ‒ terça, 14 agosto 2007, 11:05 -03 # Link |

  3. Renato Callado Borges escreveu:

    Obrigado professor!

    Só mais uma coisa, quanto aos links no final do texto: o segundo e o terceiro só são acessíveis fora da usp para leitores pagantes. Não sei se eles são acessíveis diretamente quando visitados a partir da usp.

    Renato Callado BorgesRenato Callado Borges ‒ quarta, 15 agosto 2007, 09:14 -03 # Link |

  4. pricila escreveu:

    que esporte usa as três leis de newton?

     

    default user iconpricila ‒ quarta, 05 setembro 2007, 20:58 -03 # Link |

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