Os alunos deverão chegar na hora marcada, pois haverá apresentação do critério de correção, e os pedidos de revisão só serão aceitos quando baseados na solução dos exercícios.

Necessidade de uma descrição quântica

São observados os seguintes fatos. Como viram no laboratório, luz que incide numa fenda dupla mostra os efeitos de interferência no anteparo. Mas um feixe de partículas macroscópicas como bolinhas de pingue-pongue somente dá sombras geométricas. Mas se fizermos a mesma experiência com elétrons, ocorre um efeito misto: os elétrons são detectados somente em posições explicável pelos efeitos de difração e interferência, mas por outro lado um detector de elétrons sempre detecta elétrons inteiros.

É necessário um formalismo que atribui propriedades ondulares a um elétron para explicar os efeitos de interferência observadas, mas que ao mesmo tempo descreve as propriedades de partícula também observadas.

Funções de Onda

Na mecânica clássica, o movimento de uma partícula é completamente descrito pela função posição em função do tempo, x(t). Se você conhecer as forças que agem sobre uma partícula, pode calcular a velocidade e a posição em função do tempo. Em cada instante, o estado da partícula é completamente caracterizado pela posição x e a velocidade v.

Na mecânica quântica, em vez de especificarmos o estado de uma partícula com somente estes três números, precisamos de uma função inteira (uma infinidade de números!) para descrever o estado da partícula. Em cada posição do espaço, precisamos de um número complexo (uma chamada amplitude). Chamaremos esta função de "função de onda", indicada tradicionalmente pelo símbolo Ψ ("psi"). A função de onda é uma função da posição x: Ψ = Ψ(x). Quando a partícula está num estado descrito por uma função de onda Ψ, esta função de onda nos diz tudo o que se pode saber sobre a partícula. Uma das perguntas mais óbvias que podemos fazer é: onde está a partícula que descrevemos com a função Ψ(x)? A resposta é: só podemos saber a probabilidade de achar a partícula em uma determinada posição x. A probabilidade de achar a partícula na posição x é (proporcional a) |Ψ(x)|².

Veremos que Ψ(x) também nos diz qual é a probabilidade de acharmos a partícula com certa velocidade v ou energia E. Pelo menos não precisamos de três funções para descrever o estado de uma partícula. Uma função faz o papel de três números na mecânica clássica. A função de onda também pode depender do tempo : Ψ =Ψ(x,t). A probabilidade de achar a partícula em um instante t numa posição x é |Ψ(x,t)|².

Vamos ver uma função de onda para uma partícula livre, num estado muito especial: a velocidade é v e energia é E:

 
     Ψ(x,t) = exp(i[2π/λ x- 2πf t]) (Eq. 1)

     = mais ou menos sen(2π/ λ x-2π f t) 

     = onda progressiva, com comprimento de
     onda λ e frequência f
   

O "mais ou menos" nesta equação se refere ao fato de que a rigor, Ψ(x,t) é uma função complexa (para cada x e t, o valor de Ψ(x,t) é um número complexo), mas exp(ix) = cosx + isenx é uma função oscilatória, como o seno. O que importa é que em vez de descrever uma partícula, com uma velocidade e posição, agora o estado da partícula e tudo o que podemos saber sobre o elétron é dado por uma onda progressiva [1].

Mas note bem que esta "função de onda" não é uma onda como vimos até agora: uma onda elétromagnética é um valor do campo elétrico e magnético em cada ponto no espaço que podemos em princípio medir. Mas uma função de onda na mecânica quântica não é diretamente mensurável. Somente o quadrado dela, |Ψ(x)|², é acessível experimentalmente.

Como fazemos a ligação entre a descrição em termos de uma partícula (com uma posição, velocidade e energia), e a descrição em termos da função de onda (com um comprimento de onda e uma frequência)? Queremos uma receita que converta a nova descrição em termos de funções de onda, para os nossos velhos conceitos de posição, velocidade e energia. Então vamos lá:

1. A posição da partícula já vimos: a probabilidade de achar a partícula na posição x é (proporcional a) |Ψ(x,t)|² (Max Born)
2. A velocidade da partícula está relacionada com a rapidez da variação da função de onda no espaço: v ≈ h/mλ quanto mais rápido a função de onda varia (espacialmente), ou seja, quanto menor o comprimento de onda, maior a velocidade da partícula (Louis de Broglie).
3. A energia está relacionada com a rapidez da função de onda no tempo: E ≈ hf ; quanto mais rápido a função de onda varia (no tempo), maior a energia da partícula (Einstein).

Nestas relações, h = 6.6 10^-34 Js é a constante de Planck. Note o uso do símbolo "≈", com significado "aproximademente". Para a função de onda especial da Eq. 1, que descreve uma partícula livre com determinada velocidade, estas relações entre propriedades corpusculares (da partícula) e propriedades ondulares (da função de onda) valem exatemente. Mas repare bem: para uma função de onda qualquer, não é tão óbvio qual é o comprimento de onda (porque em geral, a função de onda não é uma onda senoidal). Mas continua válido o fato de que quanto mais rápido Ψ varia no espaço, maior a velocidade. A relação entre a energia e variação no tempo também é válida para qualquer função de onda. Na mecânica quântica, a energia de um sistema é dada pela frequência da função de onda: quanto mais rápido a função de onda varia no tempo, maior a energia. De novo, nem sempre a variação da função de onda com o tempo é senoidal e nem sempre podemos falar de uma única frequência, mas o princípio: quanto mais rápida a variação no tempo, mais energética é a partícula, continua válido. [2]

Veremos que os estados que variam harmonicamente com o tempo, ou seja, estados que possuem uma única frequência, tem um significado especial na mecânica quântica: para estes estados a probabilidade de achar a partícula em x, |Ψ(x,t)|², não depende do tempo : |Ψ(x,t=0)|² = |Ψ(x,t)|² para todos os tempos. Também, estes estados tem uma energia bem definida (isto quer dizer que uma partícula neste estado com certeza tem esta energia). A partir de agora, estaremos exclusivamente interessados nestas funções de ondas especiais: as funções de onda estacionárias. De qualquer maneira, se precisarmos, uma função de onda qualquer pode ser fabricada somando-se (superpondo) várias funções de onda estacionárias.

Funções de Onda confinadas

Vamos agora ver a função de onda para uma partícula confinada em uma caixa (1-dimensional). Isto é um problema artificial (embora hoje em dia existam realizações experimentais), mas o problema é interessante porque os estados ligados de um elétron confinado pelo potencial elétrico do núcleo se comportam de maneira parecida. Então vamos lá:

Podemos descrever a caixa por um potencial que vai para infinito em x=0 e x=L. Numa descrição clássica, a partícula vai com velocidade constante até uma parede, reflete, volta com a velocidade oposta, reflete de novo, etc. Na mecânica quântica, descrevemos os estados da partícula com uma função de onda. Como no caso de uma onda confinada na mecânica clássica (por exemplo o movimento de uma corda de um violão) estamos interessados nas ondas harmônicas (senoidais) porque sabemos que qualquer movimento mais complicado pode ser decomposto em um superposição de ondas harmônicas estacionárias. (veja a aula sobre cordas vibrantes). Para o caso de uma onda confinada, como aqui, queremos então usar ondas estacionárias para descrever o movimento (os estados) da partícula: Ψ(x,t) = sen(2π/λ x)cos(2πf t) [ nota-3].

Mas sabemos que a probabilidade de achar a partícula fora da caixa tem que ser zero e portanto a função de onda também. Temos as restrições Ψ(0,t) = Ψ(L,t) = 0 e isto restringe as funções de onda àquelas que tem λ = 2L/n, com n = 1,2,3,.... Isto é exatamente o mesmo raciocínio que usamos para ondas estacionárias confinadas.

Agora, lembrando que para ondas senoidais mv = h/λ (de Broglie), é fácil ver que a energia cinética é 1/2 mv² = h²n²/(8mL²). Ou seja, os comprimentos de onda e as energias permissíveis são discretos, isso porque insistimos que o movimento da partícula tem que ser descrito por uma função de onda e que esta função tinha que ser zero em x=0 e x=L. Este é a razão pela qual na mecânica quântica uma partícula confinada só pode ter certas energias.

Em particular, vemos que a partícula não pode ter energia (ou velocidade) zero. A energia mais baixa possível é h²/(8mL²) (n=1). Esta energia é a chamada de energia fundamental.

Funções de Onda do átomo de hidrogênio

Resumindo, uma onda confinada num região no espaço não pode vibrar harmonicamente (senoidalmente) com qualquer frequência, mas é obrigado a vibrar com certas frequências discretas. Da mesma maneira, a função de onda de um elétron confinado em volta de um núcleo pela atração elétrica somente pode vibrar com certas frequências discretas, e portanto o elétron pode estar somente em determinadas energias discretas. Estes estados são descritos por funções de onda que são chamados tradicionalmente "orbitais". Veja o orbitron para visualizar estas funções.

Absorção de Luz

A mecânica quântica também trata luz diferente do que a física clássica. Podemos descrever luz de uma frequência f = c/λ como um coleção de fótons (pacotes de energia E = hf, momento p = h/λ).Mas cuidado com interpretações ingênuas! Da mesma maneira que uma função de onda não é uma onda comum, fótons são partículas não convencionais no sentido que não tem massa e que não faz sentido falar sobre a posição de um deles.

Com estes novas imagens na cabeça, podemos tentar entender o fenômeno de absorção de novo. A luz que usamos para investigar a matéria e que incide sobre os átomos ou moléculas, tem uma uma frequência de f_luz = c/λ_luz (não confundir o comprimento de de onda da luz com o comprimento de onda de de Broglie, associado à função de onda! São completemente distintas). Se o átomo pode estar somente em estados de energia discretas, separados por ΔE, então por conservação de energia o átomo pode somente absorver pacotes (fótons) com uma energia de E = hf_luz = ΔE. Assim, a única luz que pode ser absorvida (e assim levar o átomo ou molécula a um estado de energia maior) é de uma frequência f_luz = ΔE/h e comprimento de onda λ_luz = c/f_luz = hc/ΔE. Isto é o equivalente quântico de fenômeno que descrevemos na aula anterior em termos das ressonâncias do sistema elétron-núcleo.

Links

• Porque precisamos de funções de onda sobretudo para elétrons? (basicamente porque são as partículas mais leves que existem).
• As funções de onda dos elétrons num átomo de hidrogênio.
• O orbitron para visualizar as funções de onda dos elétrons num átomo de hidrogênio.

Espectrofotometria

O princípio de espectrofotometria é deixar incidir luz em uma molécula, e detectar como a molécula afeta a luz. Um espectrofotômetro é um aparelho que deixe você controlar o comprimento de onda da luz incidente na sua amostra, e que indique a razão T entre a intensidade da luz que incidiu e a luz que conseguiu atravessar a amostra: a transmitância T = I/I₀. O espectro de uma determinada substância, T, em função do comprimento de onda, é característico para cada substância.

Lei de Lambert-Beer

Pelo espectro podemos portanto identificar uma substância. No caso de moléculas dissolvidas em um solvente, em certos condições a intensidade da luz transmitida (de um determinado comprimento de onda, luz monocromática) obedece a lei de Lambert-Beer:

T = I/I₀ = 10^-abc

com a uma constante característico do soluto (absortividade), b a distância que a luz atravessa, e c a concentração. Esta relação deve ser válida quando

1. efeitos de espalhamento, reflexão e refração são desprezíveis, ou seja, a única razão que a luz não chega no detector é absorção (veja embaixo)
2. a concentração é pequena suficiente que as moléculas dissolvidas podem ser consideradas independentes.

Neste caso, é útil usar a absorbância

A = -log(T)

porque se a lei de Lambert-Beer é válido a absorbância A = abc é proporcional à concentração, tornando o espectrofotômetro um medidor de concentração seletivo para a molécula que tem um pico de absorção no comprimento de onda sob estudo.

Links

• Lei de Lambert-Beer e interação entre luz e moléculas.
• Outra boa referência no site do ChemKeys.

Notas

 E = 1/2mv2 =
       h2/(2m λ2) (de Broglie) = hf
       (Einstein}. Temos então hf = hv/2λ e λf = v/2
       

No laboratório podemos ver as conseqüências da natureza ondular da luz. O efeito mais importante é o fato que quando confinamos uma onda (luz, no nosso caso) ao passar por uma abertura estreita, a onda "se espalha" ou "se abra". Se inteirar desta propriedade básica de ondas é imprescindível para entender o princípio de Heisenberg na mecânica quântica e a descrição desta teoria para elétrons confinados em átomos e moléculas.

Luz é uma Onda Elétromagnética

Como vimos, uma carga cria uma "condição" no espaço em redor dela, o campo elétrico, que determine as forças sobre ou interações com outras cargas. Assim como de um barco oscilando num lago emanam ondas circulares, emanam ondas elétromagnéticas de uma carga oscilando. São ondas igual às ondas que vimos na aula passada em que podemos descrever-las com funções E(x,t) para o campo elétrico que varia no espaço e tempo. [Quando há campos elétricos variando, sempre há campos magnéticos B(x,t) também, mas os efeitos destes últimos podem ser desconsiderados para efeitos químicos]. Luz visível tem comprimentos de onda entre 0,4 e 0,7 μm, mas em princípio não difere de radiação com comprimentos de onda maior (infra-vermelha, rádio, micro-ondas) ou menor (ultra-violeta, raios-X).

As ondas que vimos até agora, como ondas na superfície de água ou som, sempre envolviam vibrações de pontos materiais. Parece que numa onda algo tem que vibrar, mas para ondas elétromagnéticas isto não é verdade. Não podemos visualizar o ondas eletromagnéticos como deslocamento de algo material. Vamos elaborar...

Conceito de campo

Na história da ciência existe uma tensão criativa entre descrições da natureza em termos de quantidades discretas ou contínuas. A filosofia de Heráclito era de fluxo e fogo, tudo flui e está mudando. Os atomistas procuravam explicações em termos de partículas como constituintes da matéria. O universo de Newton as vezes é considerado extremamente mecânico e determinista, mas os seus contemporâneos certamente não acharem isto: quando Newton propôs a sua teoria de gravidade no final do século 17, com as misteriosas interações a distância, foi duramente criticado pelos seus contemporâneos como Huygens e outros, que admitiram somente explicações em termos de partículas se chocando. No século 19 surgiram teorias aparentemente muito menos mecânicas ainda. A termodinâmica usa somente quantidades contínuas e macroscópicas; não precisa de átomos, moléculas ou outras partículas hipotéticas.

A teoria de electromagnetismo de Maxwell introduz o conceito de um campo, um quantidade com uma magnitude e direção em cada ponto no espaço, criada por uma carga, que te diz qual será a força sobre uma outra carga: F=qE [ou, se existe um campo magnético B e a outra carga tem uma velocidade: F = q(E + v × B).] Sumiu a "interação a distância" de Newton, como queriam o Descartes e Huygens, mas os campos electromagnéticasnão admitem uma interpretação em termos mecânicos. O próprio Maxwell tentou interpretar as suas equações assim, usando rodas e engrenagens imaginários. William Thomson (Lord Kelvin) diz:

I never satisfy myself unless I can make myself a mechanical model of a thing. If I can make a mechanical model I can understand it.

Mas ficou logo claro que não havia fundamento para tais imágens na cabeça. Como diz o Hertz:

Maxwell's theory is Maxwell's system of equations

A teoria não precisa ser visualizado em termos de modelos mecânicos para fazer sentido, uma lição importante para quem quiser se reconciliar com a mecânica quântica.

Links

• Heráclito, Maxwell

Superposição, difração e interferência

Dois campos elétricos devidos à cargas diferentes, se somam. O campo resultante é simplesmente a soma (vetorial) dos dois campos. Assim, se temos duas ondas, devido à fontes (moléculas chacoalhando) diferentes, e consideramos uma determinada posição no espaço, o campo elétrico nesta posição vai ser a soma E₁+E₂, e a intensidade da luz (o que os nosso olhos detectam) vai ser (E₁+E₂)². Interferência é o fenômeno que ocorre quando duas ou mais ondas, provenientes de fontes diferentes, vibram no mesmo lugar. Se pudéssemos sincronizar as fontes assim que quando uma onda dá "mais" numa determinada posição, e a outra dá "menos", iríamos ter um campo e intensidade zero: interferência destrutiva. Podemos realizar esta situação usando duas aberturas numa tela. Um feixe de luz, quando é forçado atravessar uma abertura muito pequena (menor do que o comprimento de onda de luz, ≈ 0,5μm), vira uma onda esférica. Mais geral, difração é o fenômeno que uma onda que encontra um obstáculo ou abertura não se propaga em linha reta mas é desviado. Duas aberturas vão produzir duas ondas vibrando juntas ("em fase"), e dependendo da diferença do caminho até um anteparo, vão interferir construtivamente ou destrutivamente, produzindo regiões com respectivamente alta e baixa intensidade.

Links

• Usei este simulação de uma cuba de ondas durante a aula teórica. Tem muito mais.
• Luz no site Hyperphysics
• Página descrevendo o laboratório
• Página sobre difração e interferência de Antonio Carlos da Costa e Hugo Fragnito (UNICAMP)
• Dois anos atrás tentei explicar o princípio de Huygens (porque luz vira um onda esférica depois de passar por uma abertura pequena) e o princípio de Babinet (porque a imagem de difração de um obstáculo é quase iqual aquela produzida por uma abertura).

Interação entre luz e matéria

O que temos até agora na nossa descrição da Natureza são objetos feito de partículas e interações entre elas via campos. Luz é uma onda de campos electromagnéticose uma pergunta natural agora é como luz interage com uma partícula. Além de ligar os conceitos básicos que introduzimos, este assunto é importante porque usamos luz como sonda para estudar a matéria.

Vimos na terceira aula uma descrição fenomenológica via a lei de Snell, válido nas aproximações da ótica geométrico, mas agora podemos investigar a interação de luz com átomos e moléculas num nível microscópio. Até um certo ponto podemos usar imagens "clássicas" e modelos mecânicos.

Espalhamento (porque o céu é azul?)

Vamos começar com uma onda de luz incidindo numa única molécula ou átomo. Com luz é gerado? Podemos modelar uma molécula como tendo um núcleo com carga positiva, ligada por molas com os elétrons. Os elétrons geram um campo elétrico E em volta da molécula. Quando os elétrons deste molécula vibram, geram uma onda de campo elétrico que se espalha em todos as direções (como as ondas geradas quando uma pedra é jogada em água). Em cada ponto ponto no espaço vazio, vai ter agora um campo elétrico E(t) vibrando (tem campos magnéticos também, mas os efeitos destes são muito pequenos). Se tiver uma outra molécula numa outra posição, esta vai sentir as vibrações do campo elétrico gerado pela primeira molécula, o que vai por sua vez excitar os elétrons. Resumindo, quando deixamos incidir luz numa molécula, ela vai vibrar, e emitir ondas esféricas. A luz incidente é espalhado.

Mas quanta luz é espalhada depende do comprimento de onda da luz incidente. A ligação núcleo-elétrons é parecido com um sistema mola-massa; as moléculas não muito grande têm freqüências de ressonância na faixa que corresponde a luz ultra-violeta. Luz incidente que tem um comprimento de onda mais perto de uma ressonância excita mais a molécula. Por isso, luz azul é espalhado mais do que luz vermelho.

O céu é luminoso em direções outras do que o sol porque luz é espalhado pelas moléculas do ar. Mas luz azul é espalhado mais eficientemente do que luz vermelho, e acaba ser o cor dominando do céu.

Difração de raio-X

Agora vamos considerar o espalhamento de ondas de uma série de átomos ou moléculas dispostos numa linha. O que acontece se deixamos incidir luz neste grade? Seguindo o mesmo raciocínio que no caso da fenda dupla, é fácil mostrar que a onda total, resultante de todas as ondas esféricas espalhados, vai sofrer interferência construtiva em direções dada por dsenθ = λ ou nλ, com d a distância entre os átomos. Pode-se mostrar que, ao contrário do caso de somente duas fontes, é somente nestas direções de interferência construtiva que vai ter uma intensidade apreciável de luz espalhada. Neste caso, chamamos a luz espalhado de luz difratada.

A generalização para redes três dimensionais não é difícil, pelo menos conceitualmente. Usa-se radiação com comprimentos de onda comparável com a distâncias entre os átomos de um cristal, da ordem de 0,1nm, e mede-se os ângulos de difração para inferir estas distâncias e assim a estrutura do cristal. A técnica de difração de raio-X foi desenvolvido por W.H e W.L. Bragg (pai e filho) e von Laue a partir de 1913, não muito tempo após a descoberta de raios-X por Roentgen em 1895.

A função (farmacológica, por exemplo) de moléculas depende da estrutura delas: onde estão os átomos em relação aos outros. Mas muitas vezes estamos também interessados na dinâmica, o movimento em função do tempo. Para pequenos desvios, o movimento é oscilatório, em volta das posições de equilíbrio. Espectrometria utilize estas oscilações (característico de cada sistema) para o propósito de identificação.

Para coleções grandes grandes de partículas, ou para distribuições contínuos de matéria, ou para campos, introduzimos ondas. Se estamos lidando com um número macroscópico de partículas, não adianta especificar a posição e velocidade de cada partícula em função do tempo. A descrição das excitações coletivas de objetos macroscópicas é melhor feito em termos de ondas.

Por fim, no início do Sec. 20 ficou claro que partículas tem características ondulares. Precisamos entender ondas clássicas para apreciar a descrição mais completa da realidade que a mecânica quântica fornece.

Ondas

Uma onda é um distúrbio ou pertubação de algo que se propaga no espaço. Pense nas ondas circulares que emanam de uma pedrinha jogada na água, por exemplo, ou uma onda de torcedores num estádio. Ondas transportam energia e informação de um lugar para outro, igual a massa em movimento. Mas no caso de ondas não há transporte de matéria!: é importante não confundir a velocidade do meio coma velocidade da onda. Um torcedor participando numa onda num estádio não muda de lugar. As moléculas de ar são colocados em vibração pelas suas cordas vocais, mas em média não mudam de lugar quando escuto a sua voz.

Este é uma diferença básica entre por exemplo uma onda em forma de um pulso e uma partícula em movimento. Ambos transportam energia, momento e informação, mas a maneira que isto acontece é fundamentalmente diferente. Por isto um fenômeno pode ser descrito em termos de ondas ou em termos de partículas, mas não ambos, na visão chamado clássica da natureza.

Ondas senoidais

Vamos considerar agora ondas especiais: as ondas senoidais ou harmônicas. São ondas que num instante de tempo tem a forma de um seno, e numa posição fixa o movimento varia também senoidalmente com o tempo. A função que descreve esta onda progressiva é

O comprimento de onda λ é a distância depois de qual a função se repete; determine a rapidez da variação no espaço. A frequência determine a rapidez da variação no tempo.

Esta onda progride no espaço, e será útil na aula seguinte para descrever raios de luz se propagando no espaço. Mas as coisas ficam mas interessantes ainda quando consideramos ondas confinados no espaço. Veremos na última aula que um elétron confinada pela atração com o núcleo deve ser descrito em termos de uma onda confinada, mas por enquanto podemos pensar nas ondas numa corda tencionada (de um violão por exemplo).

Uma partícula confinada entre duas paredes é reflito numa parede, re-reflito na outra parede, etc. resultando em um movimento periódico (com período T = 2L/v). Com uma onda confinada acontece a mesma coisa, com uma diferença: a onda se superpõe ("interfere") com ela mesma depois de ser refletida. Os pulsos indo e vindo se superpõe, e o resultado é um movimento complexo, mas periódico, com período T=2L/v_onda (numa corda a velocidade da onda seria dado por v_onda= sqrt(tensão/densidade linear) = ).

Agora vamos tentar achar um movimento da corda que não é somente periódico, mas também senoidal (harmônico). Se a onda tem que ser zero nos dois lados x=0 e x=L, para todos os tempos, obviamente ondas progressivas não servem, mas as chamadas ondas estacionárias podem servir. São ondas da forma

Mas qualquer comprimento de onda λ ou frequência f não serve: precisamos escolher os comprimentos de onda assim que a variação no espaço [dado pelo sen(2π/λ x) ] é zero nos pontos fixos. Se o seno é zero em x=0 e x=L, o deslocamento y será zero também nestes posições, para todos os tempos. Isto leva a condição que os comprimentos de onda podem ser 2L, L, 2L/3, 2L/4 etc. Estes são os únicos comprimentos de onda possíveis que satisfazem a condição que y(x=0,t) = 0 e y(x=L,t) = 0.

Concluímos que se impomos a condição de ondas harmônicas, confinadas no espaço, então os comprimentos de onda (e frequências) destas ondas são discretos. Estas ondas duplamente especial (porque são ondas não só harmônicas, mas também com um comprimento de onda especial) são os chamados modos normais, e os comprimentos de onda (ou frequência) são chamados de característicos. Para ondas numa corda tensionada, temos para a velocidade da onda , e

.

Leia Mais

• Ondas e mais ondas no site do fap0184 de 2003
• Animações de ondas, por Dan Russel
• Simulação de uma corda vibrante, e análise de Fourier por Paul Falstad, e um outro applet de análise de Fourier

1. A respeito da corrente ser inversamente proporcional à distância entre os eletŕodos, ví várias vezes afirmações do tipo "como se vê na tabela, dimuinindo a distância, aumenta a corrente. Portanto a corrente é inversamente proporcional ao corrente". Mas isso não suficiente para se caracterizar algo como (inversamente) proporcional. Proporcionalidade é um conceito quantitativo: comprova se via um gráfico (observando a linearidade do gráfico) ou por uma continha rápida: se a causa aumenta duas vezes ("por um fator 2"), o efeito deve aumentar duas vezes também. No caso de um efeito que é inversamente proporcional à causa, temos que se a causa aumenta por um fator 2, o efeito diminui por um fator 2 (ou seja, cai pela metade).
2. O mesmo problema existe com a palavra parábola: uma paráboa é uma curva específica: uma curva quadrátrica, y=x² e não uma curva qualquer. 
3. Ainda tem gente fazendo gráficos com escalas muito inconvenientes de ler: uma escala onde 1 cm no papel corresponde a 2.5 unidades, não dá para ler! Já vi até um gráfico onde 7 cm correspondiam a 5 unidades. Com uma escala desses é impossível dizer com facilidade onde fica o ponto 3 por exemplo. Portanto: usem a regra de 1,2 ou 5: escolhem a sua escala assim que uma unidade do gráfico corresponde a 1 ou 2 ou 5 unidades da quantidade que está graficando (ou 10, 20 ou 50, 0,1, 0,2 ou 0,5 etc., é claro)
4. Estamos dizendo: não façam "Introdução" porque uma exposição da teoria copiado da rede ou um livro texto não é útil para ninquém. Queremos relatórios escritos em suas palavras, com a sua voz, sobre o que aconteceu naquele dia. Mas também não pode começar imediatemente com a apresentação dos seus dados. Precisa situar o leitor: é necessário começar com o que e como mediram. 

Neste experiência trabalhamos com raios de luz, a refração da luz e a formação de imagens por lentes. Veja a seguir um texto que escrevi para a aula teórico do ano passado. Para o concurso deste semana, veja embaixo.

Luz como Raio 

Partículas interagem entre se via campos. Veremos nas próximas aulas as propriedades de vibrações, oscilações e ondas, e que luz pode ser descrita como oscilações de de campos elétromagnéticas. Mas no nosso mundo macroscópico podemos usar a aproximação de luz como raio, o que é condizente com a nossa experiência do dia-a-dia de sombras nítadas e apontadores laser.

Ótica geométrica trata das consequências de reflexão e refração de raios de luz. É uma aproximação capaz de descrever a propagação de luz em meios transparentes macroscópicos, mas não trate por exemplo de absorção de luz, ou como a intensidade da luz varia.

Refração: lei de Snell

Refração de raios de luz é um fenômeno conhecido, até quantitativamente, desde a antiguidade. Mas somente muitos séculos depois Willebrord Snell achou a relação correta entre os ângulos incidentes e refratados. A lei de Snell não é um princípio, é um mero resumo das observações. Existem pelo menos duas "explicações" da lei de Snell em termos de princípios mais fundamentais. Nas duas explicações assumimos que a velocidade da luz depende do meio em que propaga.

Luz é uma onda

Imagine frentes de onda impingindo na interface entre dois meios, em qual a onda tem velocidades diferentes. A "rapidez" com que as frentes chegam na interface (a frequência da onda) tem que ser iqual à rapidez com que saem da interface. Isto só é possível se o comprimento da onda é diferente nos dois meios. Se chegam f frentes de onda por segundo, então o tempo entre frentes é 1/f e a distância entre frentes é λ = v/f. Agora considere uma onda impingindo na interface com um ângulo. Um raciocínio geométrico mostra que sen(i)/sen(r) = λ_i/λ_r = v_i/v_r = n_r/n_i, onde definimos o índice de refração n = c/v, a relação entre a velocidade da onda e a velocidade da onda em vácuo.

Princípio de Fermat

Agora consideramos luz como raios, que se propagam, de novo, com velocidades diferentes nos dois meios. O princípio de Fermat afirma que o caminho , da luz é aquela que leva menos tempo. Dentro de um meio homogêneo, onde a velocidade é uma constante, o caminho de menos tempo é uma reta. Mas para chegar do A até B em meios diferentes, existe um caminho que leva menos tempo do que a linha reta. Pode se comprovar que o caminho de menos tempo é aquele da lei de Snell.

Vemos que duas explicações, baseadas em princípios completamente diferente, levam ao mesmo comportamento da luz. É uma lição epistemológica (a respeito de como obtemos conhecimento) importante: apesar de ser prevista por um modelo ondular para a natureza da luz, a lei de Snell não comprova esta natureza ondular. As nossas idéias acerca da realidade são construídas a partir de várias experiências e conceitos, que devem se encaixar consistentemente.

Formação de Imagens

É importante entender como funciona o processo de formação de imagens. Não emanam pequenas "imagens de gato" de um gato, o que supunham alguns dos Gregos Antigos. Uma maneira de introduzir o conceito de formação de imagens por meio de lentes é via a evolução dos olhos. Obviamente é útil para um organismo ter informações sobre objetos distantes. Luz da sol, refletido, refratado ou espalhado pelos objetos do mundo podem dar estes informações. Um dos caminhos que a seleção natural escolheu foi: células foto-sensíveis, células com uma tela opaca atrás para distinguir a direção, a tela opaca curvada para ter mais resolução na direção, uma tela quase fechado fazendo imagens do tipo câmara obscura, e finalmente o uso de uma lente para combinar as vantagens de ter uma imagem nítida e ao mesmo tempo clara.

A idéia mais importante na explicação de formação de imagens é que de cada ponto de um objeto emanam raios em todas as direções. Para luz que reflete do um objeto, esta afirmação é fácil de justificar pela aspereza microscópica das superfícies. Requer um superfície microscopicamente liso para exibir reflexão especular. No mundo real reflexão difusa, ou talvez uma situação intermediária onde existe um direção preferencial, é a regra.

Podemos supor então que de todos os pontos de um objeto, emanam raios em todas as direções. Estes raios divergentes, ou, como veremos mais tarde, frentes de onda, podem ser coletados por um sistema ótico, e redirecionados. Para um sistema ótico ideal, a cada ponto de S no espaço do objeto corresponde exatamente um ponto no espaço da imagem. Nenhum sistema ótico é ideal (podemos classificar os vários tipos de aberrações), mas fabricantes de lentes conseguem otimizar os seus sistemas óticos deles tão bem, que muitas vezes a qualidade da imagem é limitada por difração, decorrente da natureza ondular da luz.

O seu olho é um exemplo de um sistema ótica, com a função de projetar imagens na retina. A lente convergente do seu olho refrata os raios que divergem de cada ponto de um objeto assim que convergem num único ponto na sua retina: a lente projeta uma imagem real na retina. Mas quando um objeto é colocado por dentro da distância focal de uma lente convergente, a lente não tem poder de refração suficiente, e os raios continuam divergindo, fazendo uma imagem virtual na posição onde os raios convergem quando extrapolados "para trás". Você pode ver estas imagens porque os seu olho (e o seu cérebro) são adaptados para raios divergentes. Uma imagem real por outro lado precisa ser projetado numa tela ou anteparo.

Referências

• Dawkins, Richard. 1997. Climbing mount improbable. London: Penguin Books.
• Evolution of eyes. Artigo de revisão de R. D. Fernald, outro especialista em evolução dos olhos. Infelizmente, fica no ScienceDirect, do Elsevier, sendo somente acessível para assinantes.
• Hecht, E. e Zajac, A. 1974. Optics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. Um livro texto de ótica, muito bem escrito.
• Um dos site mais bem elaborados sobre microscopia.
• Applets de Fu-Kwun Hwang: arco-íris e lentes.
• lentes, Instrumentos óticos e arco-íris no Hyperphysics, partes da seção "luz e visão"

Prêmios!

Este semana, o ponto bônus no relatório e o grande prêmio vai para a pessoa que consegue me explicar melhor como o microscópio é usado na indústria e pesquisa Farmaceutica ou ciências biológicas em geral. Gostaria de saber que aplicações o microscópio tem em Farmácia, em que áreas da Farmácia ele é usado mais, que características especiais o microscópio deve ter, esse tipo de coisa. Pode e deve usar material no internet. É claro que deve mencionar os links e citar as suas fontes.

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Nesta experiência aprenderam manusear aparelhos elétricos simples como fontes de tensão e multímetros. Elétricidade está em toda parte. Sabiam, por exemplo, que 20% do metabolismo dos nossos corpos é usado para manter as cargas, voltagens e correntes elétricas nas nossas células em níveis adequados? Isto indica a importância dos fenômenos elétricos nas células e em nossos corpos. Vamos rever alguns conceitos de eletricidade básicos

Correntes

Corrente elétrica é carga em movimento. Desde as experiências de Millikan sabemos que carga vem em pacotes discretos, mas quando não estamos interessados nos detalhes microscópicos, podemos tratar corrente como um fluido carregado. A intensidade de corrente é a quantidade de carga que passa por unidade de tempo: I = Δq/Δt.

Imagine um fluido escoando com velocidade v, por um tubo de área A. Num tempinho Δt, o líquido se moveu uma distância Δx = vΔt. Mas isto significa que durante este tempinho Δt, passa ΔV = AΔx pelo tubo. Temos então para fluxo (volumétrico), o volume que passa por segundo, ΔV/Δt=Av. Num gargalo no rio, a área é menor. Para manter o fluxo de água constante, a velocidade da água tem que ser maior para deixar Av constante.

Seguindo o mesmo raciocínio, o fluxo massa seria Δm/Δt = ρAv. Se tivermos no tubo uma densidade de partículas de n partículas por volume, e cada partícula tem uma carga q (densidade de carga de nq Coulomb/volume), então passam por segundo ΔQ = ΔVnq Coulomb. Ou seja, a corrente I = ΔQ/Δt = Anqv, com v a velocidade média das cargas.

Questão

Para ver a grande diferença entre a velocidade dos elétrons num fio de por exemplo cobre e a velocidade média com que eles se deslocam para correntes típicas, podem fazer uma conta simples: v média = I/Anq [as unidades estão certas? velocidade = corrente/area/partículas por volume/carga ?]

Digamos que no filamento da lâmpada que usaram na experiência passa tipicamente 1 ampére, a área do filamento tem tipicamente 0,5 mm x 0,5 mm, vamos supor 1 elétron livre por átomo de cobre (a densidade de cobre é aproximademente 9000 kg/m³ , um átomo de cobre tem uma massa de 64 vezes a massa de um átomo de hidrogênio), e Google conhece a carga de um elétron.

Bom, é uma conta chata, mas é interessante comparar a resposta com a velocidade típica (não a velocidade média) de um elétron num metal: um milhão de metros por segundo. A velocidade com que sinais são transmitidas é muito maior ainda: perto da velocidade da luz, trezentos milhões de metros por segundo.

E mais uma pergunta: quanto tempo leva para um elétron que está sendo empurrado pelas geradoras de Itaipu fazer a viagem até a sua casa? Porque a lâmpada acende imediatamente após ligar o interruptor?

[atualização 26/03/2007 : os meus colegas me chamarem atenção que para um elétron viajar de Itaipu até São Paulo, a corrente teria que ser contínuo. Na verdade o transporte de energia é feita com corrente alternada (mas poderia ser feito, em princípio, com corrente contínuo)]

Lei de Ohm

Quando aplicamos uma diferença de potencial (voltagem) sobre um pedaço de fio, estamos "empurrando" os elétrons, através da força F = qE = qΔ U/Δ x, de um lado até o outro. O movimento deles é atrapalhado pelas colisões com a rede e com outros elétrons. Os elétrons são acelerados até velocidades grandes, mas depois um tempo curto já são espalhados em direções aleatórias pela rede. Na média, a velocidade é baixa. A situação não é menos complicada para íons em líquidos.

Apesar desta realidade microscópica complicada, o resultado macroscópico muitas vezes pode ser descrito por uma lei fenomenológica simples, a Lei de Ohm. A causa da corrente é a nossa aplicação de uma voltagem. O efeito, a corrente, muitas vezes é proporcional à voltagem aplicada: I ∝ V. O fator de proporcionalidade é 1/R, com R a resistência I = V/R: quanto mais resistência, quanto menos corrente.

Veja Também

• Corrente e Resistência, material didático do Prof. C.A. dos Santos, UFRGS
• Electricidade e Magnetismo (Hyperphysics)

Prêmios!

Esta semana vamos ter dois ganhadores do 1 ponto bônus e um grande premio, a ser definido ainda. Os ganhadores serão:

1. O primeiro a responder a pergunta sobre a velocidade média de um elétron num fio de cobre e quanto tempo leva para um elétron viajar de Itaipú até São Paulo.
2. A pessoa que me indica, por meio de um link nos comentários, a melhor visualização do movimento de elétrons em metais ou íons em soluções. Visualização aqui pode significar filmes, animações, diagramas, coisas desse tipo.

A ciência está cheia de afirmações que aparentemente simplesmente estão erradas. Baleia é mamífero? "Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma"? Um quilo de chumbo cai com a mesma velocidade que um bolinha de pingue-pongue? Um quilo de chumbo tem o mesmo peso que um quilo de penas?

À penúltima afirmação está associado o nome de Galileo, que numa experiência apócrifa jogou duas bolas de pesos diferentes da torre de Pisa e mostrou que atingiram o chão no mesmo instante. Porém, é importante entender que as afirmações da Física se referam a um mundo idealizado (neste caso, um mundo sem arrasto viscosa). Somente assim podemos fazer progresso, mas não podemos esquecer que, de fato, são modelos idealizados que, no melhor das hipóteses, captam a essência dos fenômenos,

Os efeitos de atrito devido à viscosidade do meio podem ser importantes. Um paraquedista ou gotinhas de chuva caem com velocidade constante. Alguem que já contemplou as gotinhas de água de uma cachoeira sabe que as gotinhas menores caem mais devagar. Veja a expressão que derivamos no guia para a velocidade limite que uma esfera atinge num meio com viscosidade :

É interessante ver os limites desta equação. Como já escrevi em outro luga, é verdade sim que um ciclista grande leva vantagem na descida: considerando uma ciclista esférica (), quanto maior o raio r, maior a velocidade. Mas a experiência do Galileo se refere a bolas esfericas do mesmo tamanho, mas feito de materiais com densidades diferentes. Mais uma vez, podemes ver pela equação que quanto maior a densidade da esfera, maior a velocidade.

E para micro-organismos, as velocidades limites com que caem são muito pequenos. Na verdade, pode mostrar que para organismos unicelulares natação é bem diferente do que para organismos do nosso tamanho. Para raios e velocidades típicas de natação de uma organismo unicelular (r = 1μm, v = 30μm/s), pode-se mostrar a força de arrasto é mais do que 10 vezes maior do que o próprio peso. Para estes organismos os efeitos da força de gravidade e inércia são desprezíveis. As forças viscosas são tão grande que se elas param de nadar, a célula se desloca por inércia somente 1nm: somente um milésimo do próprio tamanho!

Voltando à equação acima, não tem uma coisa errada? Segundo os livros-textos, Galileo teria razão se a experiência fosse feito em vácuo. Mas a equação diz que no limite que a densidade do líquido vai para zero (), a velocidade limite vai para . Mas isto ainda depende do tamanho e densidade da esfera, contrário ao que Galileo e os livros-textos afirmam! Qual é o erro de raciocionio? (O primeiro aluno do fap0181 a responder vai ganhar 1 (um) ponto bônus no relatório desta semana e mais um premio a ser entregue na próxima aula. Outros participantes do Stoa não podem participar...)