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agosto 14, 2009

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II.7- O “Teorema do Macaco”

 

Por Jocax

 

Idos de 1979...

Eu estava estudando no terceiro ano de graduação do curso de Física quando um "bafafá" do pessoal do quarto ano chegou à nossa turma. Era o "Teorema do Macaco".

 

O “Teorema do Macaco” estabelece que: se colocarmos um “macaco” imortal em frente a uma máquina de escrever inquebravel, que fique teclando aleatoriamente e indefinidamente, então todas as obras que se possa imaginar serão escritas. Ele irá escrever todas as obras de Shakespeare, todos os contos da Agatha Christie, a Bíblia etc. Sem um único erro, vírgula por vírgula, ponto por ponto!

 

E não é brincadeira!

 

Essa conclusão pode ser demonstrada a partir da teoria das probabilidades. Para isso vamos demonstrar o seguinte lema:

 

“Se há um evento E1 que ocorre periodicamente e ininterruptamente a cada período de tempo t1, e existe uma probabilidade p (onde p>0), de ocorrer outro evento E2 decorrente de E1. Então, se esperarmos tempo suficiente, o evento E2 ocorrerá”.

 

Prova:

A probabilidade q de não ocorrer E2 em um período t1 qualquer é q = (1-p).

Dessa forma:

A probabilidade de não ocorrer E2 no 1.  período é q ;

A probabilidade de não ocorrer E2 nem no 1. e nem no 2. período é (q x q) = q^2;

A probabilidade de não ocorrer E2 nem no 1, nem no 2. e nem no 3. período é (q x q x q) = q^3 ;

 

Assim, a probabilidade Q de não ocorrer E2 em nenhum dos N primeiros períodos será:

Q = q^N  ( q elevado a N-ésima potência).

 

E, portanto, a probabilidade P de ocorrer E2 em pelo menos 1 dos N primeiros períodos será de

1 menos a probabilidade de não ocorrer em nenhum destes períodos, isto é:
P = 1 – Q    =   1 – ( q^N )  =  1 – ( (1-p)^N )  

Como p>1, então q<1, e neste caso quando N cresce Q diminui, e P aumenta. No limite, quando N tende ao infinito, então P tende à unidade, representando 100% de probabilidade de ocorrer o evento E2.

 

Se T é o tempo que toma cada período E2 então podemos calcular o tempo médio TM de ocorrer pelo menos uma vez o evento E2:  TM = T/P. Ou seja, teríamos que esperar um tempo médio de (T/P) para que o evento E2 ocorresse.

 

Vamos agora aplicar este lema no problema do macaco. Suponha que a máquina de escrever do macaco tenha 50 teclas. Vamos calcular a probabilidade do “macaco” digitar a palavra “BOI” e quanto tempo ele levaria para isso.

 

Cada letra, na máquina de escrever do macaco, corresponde a uma probabilidade p de 1/50. Como cada “teclada” do macaco é independente da anterior, já que ele digita aleatoriamente, então as probabilidades são multiplicadas, e a probabilidade do macaco escrever “BOI”, será o produto das probabilidades de cada uma das três letras:

p(“BOI”) = (1/50) x (1/50) x (1/50) = (1/50)^3 = 0,000008

 

A probabilidade de não digitar “BOI” em três “tecladas” será de q=1-p= 0,999992

 

Se o macaco digita, por exemplo, uma tecla por segundo, e se considerarmos o evento periódico E1 como sendo “três tecladas consecutivas do macaco”, que acontece a cada período de 3 segundos, então a probabilidade de ele não digitar “BOI” no primeiro período E1 será de Q=99,9992%; e o de acertar seria de P = 1-Q = 0,0008% ;

A probabilidade de acertar até o 10.           período seria de 1-Q^10          =  0.008%

A probabilidade de acertar até o 100          período seria de 1-Q^100        =  0,08%

A probabilidade de acertar até o 1000        período seria de 1-Q^1000      =  0,79%

A probabilidade de acertar até o 10000      período seria de 1-Q^10000    = 7,6%

A probabilidade de acertar até o 100000    período seria de 1-Q^100000  = 55%

A probabilidade de acertar até o 1000000  período seria de 1-Q^1000000 = 99,9%

 

Ou seja, até o milionésimo período, teríamos uma probabilidade de 99,8% de o macaco escrever “BOI”, e ele demoraria cerca de um mês e meio para esta tarefa. Se a tarefa do macaco fosse o de digitar as obras de Shakespeare, a probabilidade seria bem menor e o tempo bem maior, mas todos finitos. Ou seja, haveria um tempo finito, embora muito maior que a idade do universo, para o macaco completar a tarefa.

 

Vamos aplicar agora o Teorema do Macaco ao nosso Universo. Os Cientistas prevêem dois possíveis destinos para o nosso Universo: Num deles o nosso universo estaria em eterna expansão de modo que a entropia, por fim, o liquidaria. No outro cenário, o universo não se expandiria indefinidamente, e uma fase de contração estaria por vir. Embora as evidência atuais (2008) apontem para um universo em expansão eterna, o cenário pode mudar se novas evidências forem encontradas.

 

Vamos agora supor a hipótese de um Universo pulsante, isto é, o universo explode e “implode” indefinidamente (“Big-Bang-Big-Crunch”). Lembre-se que indefinidamente é muito tempo:- )

 

Se o modelo do universo pulsante for verdadeiro (“Big-Bang-Big-Crunch”), então temos duas possibilidades:

 

1-Cada “Big-Bang” é independente dos demais:

 

Nesse caso, pelo teorema do macaco, tudo o que você pensar que pode acontecer, irá acontecer (se for fisicamente possível). Pense que você vai ganhar na loteria sozinho, e, além disso, descobrir a cura da Aids e do Câncer,  e ser o Cientista mais importante do milênio. Você gostaria? Pois bem: É só esperar. Dentro desta hipótese, o teorema do macaco garante que vai acontecer!

 

2- Cada “Big-Bang” é influenciado pelo “Big-Bang” anterior:

 

Nesse caso, poderíamos ter um “loop-infinito” com as mesmas causas isto é, após certo ciclo de pulsações do universo, o mesmo universo se repetirá e, o q esta acontecendo, por exemplo, agora iria se repetir, ciclicamente, para sempre. (Nesse caso, é bom cuidarmos para termos uma vida feliz, já que ela poderia se repetir ad eternuumm!).

 

 

O “Teorema do Macaco” pode também ser utilizado para explicar o aparecimento do primeiro replicante no “caldo primordial”: suponha que cada centímetro cúbico do caldo primordial correspondesse a um “macaco” fazendo chocar aleatoriamente as moléculas umas contra as outras. Cada choque de molécula corresponderia a uma “teclada do macaco” que poderia formar ou não um “texto” que fosse auto-replicante. O objetivo seria formar o primeiro replicador. Note que não teríamos apenas um único macaco, pois o caldo primordial deveria ter bilhões de metros cúbicos de volume o que acarretaria uma boa quantidade de “macacos” teclando suas máquinas. Podemos então afirmar que a probabilidade de formar a primeira molécula replicante é muito maior que a de um único macaco, e, além disso, podemos esperar bilhões de anos para pelo menos um destes “macacos” conseguirem alguma coisa.

 

 

Palavras-chave: Big-Bang-Big-Crunch, Probabilidade, Teorema do Macaco, Universo Cíclico

Postado por João Carlos Holland de Barcellos em Ateus e Ateísmo

Comentários

  1. João Carlos Holland de Barcellos escreveu:

    Leia tambem:

    "O Boeing e  a Vida" :
    http://stoa.usp.br/mod/forum/forum_view_thread.php?post=56

     

    João Carlos Holland de BarcellosJoão Carlos Holland de Barcellos ‒ sexta, 14 agosto 2009, 14:57 -03 # Link |

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